viernes, 2 de mayo de 2014

Derivada

Derivada

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).
  En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

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jueves, 1 de mayo de 2014

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:
(1a)\begin{cases} \cfrac{dy}{dx} = f(x,y) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}
o en su forma implícita:
(1b)f\left(x,y,\frac{dy}{dx}\right) = 0\ \mbox{con}\ y(x_0) = y_0

Ejemplos de ecuaciones diferenciales[editar]

Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:
(2a)M(x) dx = N(y) dy\;
se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:
(2b){\int_{x_0}^{x} M(x)dx}={\int_{y_0}^{y} N(y)dy}

Ecuaciones homogéneas[editar]

Una ecuación de la forma
dy/dx = f(x,y)
es homogénea siempre que la función f no dependa de x y y aisladamente, sino únicamente de sus razones y/x o bien x/y. Así pues las ecuaciones homogéneas adoptan la forma
dy/dx = F(y/x)1 .
Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:
\frac{dy}{dx} =\frac{x^2y+y^3-xy^2}{x^3-7xy^2}
sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por x^3 o y^3 en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son:
u(x,y) = \frac{x}{y} o bien u(y,x) = \frac{y}{x}
Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor como función que se ha establecido.
El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma:
(3a)\frac{dy}{dx} = F\left( \frac{y}{x} \right)
introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:
(3b)\ln x = \int \frac{du}{F(u)-u}+C

Ecuaciones lineales de primer orden[editar]

La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:
(4a)\frac{dy}{dx} + \alpha y(x) = f(x)
Y la solución de la misma viene dada por:
(4b)y(x) = e^{-\alpha(x-x_0)} \left(y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi)e^{\alpha (\xi-x_0)} d\xi \right)
En el caso particular \scriptstyle f(x)=b =\text{cte.} y \scriptstyle x_0=0, la solución es:
(4c)y(x) = y_0 e^{-\alpha x} + \frac{b}{\alpha}(1-e^{-\alpha x})

Ecuación diferencial de Bernoulli[editar]

Una ecuación de Bernoulli es aquélla que tiene la forma:
(5a)\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) y^\alpha, \quad \alpha\ne 1
Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas cualesquiera. Su solución para α > 1 viene dada por:
(5b)y(x)={\frac {{e^{-\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{\sqrt [\alpha-1]{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right) {e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}{dx}+C}}}
Dicha solución directa puede obtenerse aplicando paso a paso el siguiente método:
1) Cambiar la variable dependiente y por una nueva variable v de la siguiente manera:
v(x) = [y(x)]^{(1-\alpha)}
2) Se diferencia v en función de x.
3) Se despeja el diferencial dy del paso anterior y se substituye en la ecuación diferencial original (resultando una ecuación lineal).
4) Se encuentra por integración directa la función v en la ecuación:
v(x) =e^{-h(x)}{\int e^{h(x)} r(x){dx} + c}
donde: h(x)=\int f(x){dx}
5) Se revierte el cambio de variable desde v a y y se encuentra la solución general, en función de su variable original x.





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Antiderivada y sus aplicaciones

   La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

    Por ejemplo:
Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).
La anti-derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

                                                                                                    Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una anti-derivada es la siguiente:
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                                                                                                    Teorema
Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

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Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir comoMonografias.comc constante real.
Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida
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A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:
  • Concepto.
  • Propiedades.
  • Reglas de integración.
  • Integrales inmediatas.
  • Métodos clásicos de integración:
-Integración por sustitución.
-Integración por partes.
-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.
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Pasos para realizar un cambio de variable y Variables por parte


Pasos para realizar un cambio de variable:



A- Asignar una función de la integral original a la variable "du" donde tenga su derivada ahí mismo.
B- Encontrar la variable "du" a través de derivar la variable de "du".
C- Hay que validar lo que se esta haciendo, verificando que "du" se encuentra en la integral original. 
D- Hacer el cambio de la variable, reescribiendo la integral pero ahora con la variable nueva.
E- Validar que la nueva integral se ajuste a una de la reglas básicas de integración. 
F- Se devuelve el cambio de variable .  


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ECUACIONES DIFERENCIALES

Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
  • Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
  • Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

    Ecuación diferencial lineal

    Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma \, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x), es decir:
  • Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
  • En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
  • Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:
  • \,y'= y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones y = f(x) = k \cdot e^x , con k un número real cualquiera.
  • \,y'' + y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = a \cos (x) + b \sin (x)\,, con a y b reales.
  • \,y'' - y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones \,a \cdot e^x+b \cdot 1/(e^x), con a y b reales.

Usos

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
\mathbf{Mx}''(t)+ \mathbf{Cx}'(t)+\mathbf{Kx}(t)=\mathbf{P}(t) \,
Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
  • La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:
  • { \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2 },
donde t\, es el tiempo y x\, es la coordenada del punto sobre la cuerda y c\, una constante que corresponde a la velocidad de propagación de dicha onda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

Ecuaciones semilineales y cuasilineales

No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función \scriptstyle y(x) puede escribirse en la forma:
f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)=0, \qquad \qquad f_1(z):=f(z,\alpha_{n-1},\dots,\alpha_2,\alpha_1,\alpha_0,\beta_0)

Se dice que dicha ecuación es cuasilineal si \scriptstyle f_1(\cdot) es una función afín, es decir, \scriptstyle f_1(z) = az + b.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama semilineal si puede escribirse como suma de una función "lineal" de la derivada de orden n más una función cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función \scriptstyle y(x) puede escribirse en la forma:
f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)= \hat{f}(y^{(n)},x)+ g(y^{(n-1)},\dots,y',y,x) \qquad \qquad f_2(z):= \hat{f}(z,\beta_0)
Se dice que dicha ecuación es semilineal si \scriptstyle f_2(\cdot) es una función lineal.

Solución de una ecuación diferencial

Tipos de soluciones

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
  1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes.
Solución general
Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
  1. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X_0,Y_0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X_0,Y_0), que recibe el nombre de condición inicial.
Solución particular
Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
  1. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.
Solución singular
Solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.

Resolución de algunas ecuaciones

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